Onde gravitazionali

Lo scopo del laboratorio proposto da Donato Bini (CNR-IAC) è quello di costruire un modello che permetta di approssimare al meglio uno dei  potenziali gravitazionali dei due buchi neri, partendo dai dati reali forniti dall'interferometro LIGO nel settembre 2015. Il modello costruito, verrà poi confrontato con quello fornito dai committenti (CNR-IAC) al fine di verificare quale dei due approssimi al meglio i dati prodotti.
Il laboratorio è stato completato nella primavera del 2017 e il fascicolo corrispondente si può scaricare seguendo questo collegamento. Per ulteriori informazioni si può leggere il post Il quarto fascicolo: Onde gravitazionali.

Effective One-Body Model

Le equazioni che governano le interazioni gravitazionali di due corpi, dal punto di vista energetico, corrette via via dalle teorie post-newtoniane, sono talmente complesse da essere intrattabili anche con i calcolatori più moderni. Thibault Damour, Alessandro Buonanno e i loro collaboratori, tra cui Donato Bini che ci ha aiutato a realizzare questo laboratorio, hanno sviluppato una teoria di campo effettivo - Effective One Body (EOB) Model - che permette la manipolazione delle equazioni attraverso una radicale semplificazione delle stesse. Il formalismo introdotto è stato fondamentale per sviluppare gli oltre 250.000 modelli che sono stati usati per studiare e riconoscere i segnali derivanti dalla fusione di due buchi neri.

Il modello di Hamiltoniana introtto dal EOB Model assume l’aspetto che segue:

dove A è il potenziale radiale. È proprio una componente di questo potenziale che vogliamo approssimare in questo laboratorio!
Ricordiamo che in meccanica e in meccanica quantistica l’Hamiltoniana è associata all'energia totale di un sistema (quantistico o meno) e gioca un ruolo cruciale nel determinare l’evoluzione temporale del sistema stesso.

In pratica

Una delle tabelle con i dati di due potenziali gravitazionali a(p) e d(p)

Il gruppo di lavoro ha cercato un'approssimazione per uno dei tanti potenziali gravitazionali che fanno parte del modello. Il problema non è stato di facile soluzione: ha tenuto impegnati gli studenti per vari incontri e ha richiesto un uso intensivo e massiccio di applicazioni CAS come GeoGebra e xMaxima. Una delle difficoltà maggiori si è avuta nella scelta della forma della funzione approssimante, i tentativi sono stati molti e non sempre soddisfacenti. Ancora più complesso il lavoro necessario a comprendere il significato delle variabili e delle funzioni implicate, dei risultati e, in generale, la comprensione del problema in generale. Comprensione essenziale alla produzione del fascicolo (per una descrizione dei fascicoli vedere qui).

Uno dei tentativi di approssimazione su una parte dei dati

Ringraziamenti

Il laboratorio ha preso vita grazie alla disponibilità, al limite della dedizione, di Donato Bini. Ogni volta che abbiamo avuto bisogno di aiuto si è sempre prodigato in informazioni e spiegazioni. Più di una volta ha incontrato i ragazzi a scuola, a volte con un preavviso di un solo giorno. È grazie a lui se abbiamo avuto la possibilità di assistere alla lettura del professor Damour all'IAC.

Rendimento di elica libera

Il rendimento di elica libera è il primo problema proposto alla classe e anche il primo a essere risolto. In breve: si tratta di analizzare i dati e le misure ottenuti da un esperimento di elica libera eseguito presso il laboratorio dell'Istituto nazionale per studi ed esperienze di architettura navale (CNR-INSEAN).
Realizzato grazie alla collaborazione di Alessandro Moriconi, CNR-INSEANN.
Il laboratorio è stato completato nella primavera del 2017 e il fascicolo corrispondente si può scaricare seguendo questo collegamento. Per ulteriori informazioni si può leggere il post Il terzo fascicolo: rendimento di elica isolata.

L'elica isolata

Come è facile immaginare, il rendimento di un'elica è fortemente influenzato dalla forma e dalle dimensioni dello scafo che l'elica stessa deve spingere quindi la forma e le dimensioni di un'elica sono in continua evoluzione, di pari passo con l'evoluzione degli scafi. L'analisi del rendimento di un'elica è parte essenziale di questa evoluzione.

Il primo passo è quello di testare l'elica senza lo scafo che dovrà in seguito spingere per avere dati da confrontare poi con il funzionamento a regime. questi test sono detti prove di elica isolata (Open water test).

Il modello in scala

La tabella con i dati originali
forniti da INSEAN

Il test si esegue su un modello in scala dell'elica per cui è necessario lavorare su grandezze adimensionali che, quindi, non dipendano troppo dalle dimensioni relative del modello. È pur vero che non si potrà avere una completa indipendenza dalla scala (per quanto sia precisa l'analisi e efficace la scelta delle grandezze adimensionali resta sempre il fatto che il modello è scalato ma il mezzo in cui si muove, l'acqua in questo caso, è la stessa).

In particolare è necessario eseguire l'esperimento con il numero di Reynolds più grande che sia possibile. Questa grandezza infatti, in un certo senso, misura il grado di turbolenza del fluido provocata dal movimento dell'oggetto, dell'elica in questo caso, e la turbolenza ne influenza fortemente il rendimento. Sarebbe auspicabile avere lo stesso numero di Reynolds nel test e nella realtà ma questo è chiaramente impossibile.

L'analisi dell'esperimento

Il CNR-INSEAN ha fornito una tabella con i risultati sperimentali misurati in una serie di punti (velocità del fluido, numero di giri dell'elica, spinta e coppia) e richiede agli studenti un analisi completa fornendo in particolare:

• l'analisi dell'esperimento in modo standard (una tabella che per ogni punto sperimentale indichi le condizioni di prova, i risultati ottenuti e l'analisi di essi con i corrispondenti valori delle grandezze adimensionali in gioco)
• l'intervallo (velocità di avanzo minima e massima) per cui il rendimento dell'elica è superiore al 50%
• il valore di velocità di avanzo per cui il rendimento è massimo

Con velocità di avanzo si intende la versione adimensionale della velocità con cui si muove l'elica.

In pratica

Sostanzialmente il gruppo di studenti che ha affrontato questo problema ha dovuto innanzitutto lavorare sulla adimensionalizzazione delle grandezze e completare la tabella a partire dai dati sperimentali, in particolare hanno calcolato il numero di Reynolds.

La parte più interessante però è stata la successiva, il rendimento di un'elica si calcola a partire dal coefficiente di spinta e da quello di coppia (grandezze adimensionali corrispondenti alla spinta e alla coppia) con la formula:

dove J è la velocità di avanzo, KT il coefficiente di spinta e KQ il coefficiente di coppia.

Quindi si tratta di determinare una funzione (un polinomio) che approssimi KT e KQ per poi avere un'espressione per il rendimento. A questo punto non resta che calcolare il massimo di tale funzione nell'intervallo specificato, per avere il rendimento massimo, e risolvere un'equazione per determinare l'intervallo per cui il rendimento è superiore alla soglia specificata.

Il risultato finale ottenuto approssimando il coefficiente di spinta (in arancione) e quello di coppia (in blu) e la corrispondente funzione che approssima il rendimento (in verde). Per ciascuna funzione i punti e la spezzata in colore più scuro sono i dati sperimentali. I punti in colore viola sono il massimo - M - e gli estremi dell'intervallo per cui il rendimento è maggiore del 50%

Ringraziamenti

L'apparato sperimentale per i test di elica libera

Abbiamo conosciuto Alessandro Moriconi, Andrea Mancini e Marina Landolfi in occasione della Notte europea dei ricercatori e mi ha subito colpito la loro disponibilità verso i ragazzi, la loro curiosità per il gioco (Lampo di genio) e il loro apprezzamento per il lavoro fatto nello sviluppo. Ma qui mi piace ricordare il giorno in cui scrissi il messaggio in cui illustravo il progetto che stavamo abbozzando per l'alternanza scuola-lavoro e le loro risposte. Nella prima, pur apprezzando l'idea, spiegavano che era per il loro istituto impossibile collaborare a causa di impegni precedenti già concordati con altre scuole, proprio per l'alternanza scuola-lavoro. Nella seconda, giunte solo poche ore dopo, si rimangiavano tutto e si dichiaravano a partecipare. Trapelava da quel messaggio un entusiasmo che mi ha emozionato.

Quando poi, qualche tempo dopo, ci siamo seduti a tavolino per progettare il problema da proporre agli studenti mi ha stupito la semplicità e la rapidità con cui abbiamo definito i dettagli e organizzato, a grandi linee, il lavoro.

Credo che senza il loro aiuto questo progetto, forse, non sarebbe nemmeno iniziato.